lunes, 13 de diciembre de 2010

Notas de Probabilidad

Notas de Probabilidad 

Teoría de probabilidades

La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro.

Suceso

Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.

Espacio muestral

Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω).

Tipos de sucesos

Suceso elemental

Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral.

Suceso aleatorio

Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Suceso seguro

Suceso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral).

Suceso imposible

Suceso imposible, Conjunto vacio, es el que no tiene ningún elemento.
Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuación igual a 7.

Sucesos compatibles

Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común.

Sucesos incompatibles

Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común.

Sucesos independientes

Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B.

Sucesos dependientes

Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B.

Suceso contrario

El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A., Se denota por suceso contrario.

Unión de sucesos

La unión de sucesos, A unión B, es el suceso formado por todos los elementos de A y de B.

Intersección de sucesos

La intersección de sucesos, A intersección B, es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y B.

Diferencia de sucesos

La diferencia de sucesos, A − B, es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B.
Propiedad de la diferencia de sucesos

Sucesos contrarios

El suceso suceso contrario = E - A se llama suceso contrario o complementario de A.

 

Axiomas de la probabilidad

1.La probabilidad es positiva y menor o igual que 1.
0 ≤ p(A) ≤ 1
2. La probabilidad del suceso seguro es 1.
p(E) = 1
3.Si A y B son incompatibles, es decir A intersección B = Conjunto vacio entonces:
p(A unión B) = p(A) + p(B)

Propiedades de la probabilidad

1 La suma de las probabilidades de un suceso y su contrario vale 1, por tanto la probabilidad del suceso contrario es:
Probabilidad del suceso contrario
2 Probabilidad del suceso imposible es cero.
Probabilidad del suceso imposible
3 La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de sus probabilidades restándole la probabilidad de su intersección.
unión
4 Si un suceso está incluido en otro, su probabilidad es menor o igual a la de éste.
unión
5 Si A1, A2, ..., Ak son incompatibles dos a dos entonces:
unión
6 Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = {x1, x2, ..., xn} entonces:
unión
Por ejemplo la probabilidad de sacar par, al tirar un dado, es:
P(par) = P(2) + P(4) + P(6)

Regla de Laplace.
Si realizamos un experimento aleatorio en el que hay n sucesos elementales, todos igualmente probables, equiprobables, entonces si A es un suceso, la probabilidad de que ocurra el suceso A es:
Laplace

Ejemplos

Hallar la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire salgan dos caras.
Casos posibles: {cc, cx, xc, xx}.
Casos favorables: 1.
cartas
En una baraja de 40 cartas, hallar la P (as) y P (copas).
Casos posibles: 40.
Casos favorables de ases: 4.
cartas
Casos favorables de copas: 10.
cartas
Calcular la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga:
1 Un número par.
Casos posibles: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Casos favorables: {2, 4, 6}.

Probabilidad de la unión de sucesos incompatibles

A intersección B = Conjunto vacio
p(A unión B) = p(A) + p(B)
Calcular la probabilidad de obtener un 2 ó un 5 al lanzar un dado.
incompatibles
Probabilidad de la unión de sucesos compatibles
A intersección B ≠ Conjunto vacio
p(A unión B) = p(A) + p(B) − p(A intersección B)
p(A unión B unión C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(A intersección B) − p(A intersección C) − p(B intersección C) + p(A intersección B intersección C)
Calcular la probabilidad de obtener un múltiplo de 2 ó un 6 al lanzar un dado.
compatibles
solución
2 Un múltiplo de tres.
Casos favorables: {3, 6}.
solución
3 Mayor que 4.
Casos favorables: {5, 6}.

Probabilidad Condicional

Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral E.
Se llama probabilidad del suceso A condicionada al B y se representa por P(A/B) a la probabilidad del suceso A una vez ha ocurrido el B.
condicionada

Ejemplo

Calcular la probabilidad de obtener un 6 al tirar un dado sabiendo que ha salido par.
condicionada

Sucesos independientes

Dos sucesos A y B son independientes si                p(A/B) = p(A)

Sucesos dependientes

Dos sucesos A y B son dependientes si                 p(A/B) ≠ p(A)


Probabilidad de la intersección de Sucesos independientes

 p(A intersección B) = p(A) · p(B)

Ejemplo

Se tiene una baraja de 40 cartas, se saca una y se vuelve a meter. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos ases?
solución

Probabilidad de la intersección de Sucesos dependientes

p(A intersección B) = p(A) · p(B/A)

Ejemplo

Se tiene una baraja de 40 cartas, se extraen dos cartas. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos ases?
solución

Probabilidad de la diferencia de sucesos

Probabilidad de la diferencia de sucesos

Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad.
En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final).
Hay que tener en cuenta: que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.

Diagramas de Arbol 

Ejemplos

Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:
1 Seleccionar tres niños.
árbol
solución
2Seleccionar exactamente dos niños y una niña.
solución
3Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.
solución
1 Seleccionar tres niñas.
solución

Calcular la probabilidad de que al arrojar al aire tres monedas, salgan:
Tres caras.
árbol
solución

Experimentos compuestos

Un experimento compuesto es aquel que consta de dos o más experimentos aleatorios simples.
Es decir, si tiramos un dado, o una moneda, son experimentos aleatorios simples, pero si realizamos el experimento de tirar un dado y posteriormente una moneda, estamos realizando un experimento compuesto.
En los experimentos compuestos es conveniente usar el llamado diagrama en árbol para hacerse una idea global de todos ellos.

Teorema de Bayes 

Si A 1, A 2 ,... , An son:
Sucesos incompatibles 2 a 2.
Y cuya unión es el espacio muestral (A 1 unión A 2 unión... unión A n = E).
Y B es otro suceso.
Resulta que:
Bayes
Las probabilidades p(A1) se denominan probabilidades a priori.
Las probabilidades p(Ai/B) se denominan probabilidades a posteriori.
Las probabilidades p(B/Ai) se denominan verosimilitudes.

Ejemplos

El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?
árbol
solución

La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02.
En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente?
Sean los sucesos:
I = Producirse incidente.
A = Sonar la alarma.
árbol
solución