Notas de Probabilidad
Teoría de probabilidades
La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro.
Suceso
Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.
Espacio muestral
Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω).
Tipos de sucesos
Suceso elemental
Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral.
Suceso aleatorio
Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral.
Suceso seguro
Suceso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral).
Suceso imposible
Suceso imposible,
, es el que no tiene ningún elemento.
Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuación igual a 7.
Sucesos compatibles
Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común.
Sucesos incompatibles
Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común.
Sucesos independientes
Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B.
Sucesos dependientes
Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B.
Suceso contrario
El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A., Se denota por
.
Unión de sucesos
La
unión de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos de A y de B.
Intersección de sucesos
La
intersección de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y B.
Diferencia de sucesos
La diferencia de sucesos, A − B, es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B.
Sucesos contrarios
El suceso
= E - A se llama
suceso contrario o complementario de A.
Axiomas de la probabilidad
1.La probabilidad es positiva y menor o igual que 1.
0 ≤ p(A) ≤ 1
2. La probabilidad del suceso seguro es 1.
p(E) = 1
3.Si A y B son incompatibles, es decir A
B =
entonces:
p(A B) = p(A) + p(B) Propiedades de la probabilidad
1 La suma de las probabilidades de un suceso y su contrario vale 1, por tanto la probabilidad del suceso contrario es:
2 Probabilidad del suceso imposible es cero.
3 La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de sus probabilidades restándole la probabilidad de su intersección.
4 Si un suceso está incluido en otro, su probabilidad es menor o igual a la de éste.
5 Si A1, A2, ..., Ak son incompatibles dos a dos entonces:
6 Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = {x1, x2, ..., xn} entonces:
Por ejemplo la probabilidad de sacar par, al tirar un dado, es:
P(par) = P(2) + P(4) + P(6)
Regla de Laplace.
Si realizamos un experimento aleatorio en el que hay n sucesos elementales, todos igualmente probables, equiprobables, entonces si A es un suceso, la probabilidad de que ocurra el suceso A es:
Ejemplos
Hallar la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire salgan dos caras.
Casos posibles: {cc, cx, xc, xx}.
Casos favorables: 1.
En una baraja de 40 cartas, hallar la P (as) y P (copas).
Casos posibles: 40.
Casos favorables de ases: 4.
Casos favorables de copas: 10.
Calcular la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga:
1 Un número par.
Casos posibles: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Casos favorables: {2, 4, 6}.
Probabilidad de la unión de sucesos incompatibles
A
B =
p(A B) = p(A) + p(B) Calcular la probabilidad de obtener un 2 ó un 5 al lanzar un dado.
Probabilidad de la unión de sucesos compatibles
A
B ≠
p(A B) = p(A) + p(B) − p(A B) p(A B C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(A B) − p(A C) − p(B C) + p(A B C) Calcular la probabilidad de obtener un múltiplo de 2 ó un 6 al lanzar un dado.
2 Un múltiplo de tres.
Casos favorables: {3, 6}.
3 Mayor que 4.
Casos favorables:
{5, 6}.
Probabilidad Condicional
Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral E.
Se llama probabilidad del suceso A condicionada al B y se representa por P(A/B) a la probabilidad del suceso A una vez ha ocurrido el B.
Ejemplo
Calcular la probabilidad de obtener un 6 al tirar un dado sabiendo que ha salido par.
Sucesos independientes
Dos sucesos A y B son independientes si p(A/B) = p(A)
Sucesos dependientes
Dos sucesos A y B son dependientes si p(A/B) ≠ p(A)
Probabilidad de la intersección de Sucesos independientes
p(A B) = p(A) · p(B)
Ejemplo
Se tiene una baraja de 40 cartas, se saca una y se vuelve a meter. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos ases?
Probabilidad de la intersección de Sucesos dependientes
p(A B) = p(A) · p(B/A) Ejemplo
Se tiene una baraja de 40 cartas, se extraen dos cartas. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos ases?
Probabilidad de la diferencia de sucesos
Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad.
En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final).
Hay que tener en cuenta: que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.
Diagramas de Arbol
Ejemplos
Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:
1 Seleccionar tres niños.
2Seleccionar exactamente dos niños y una niña.
3Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.
1 Seleccionar tres niñas.
Calcular la probabilidad de que al arrojar al aire tres monedas, salgan:
Tres caras.
Experimentos compuestos
Un experimento compuesto es aquel que consta de dos o más experimentos aleatorios simples.
Es decir, si tiramos un dado, o una moneda, son experimentos aleatorios simples, pero si realizamos el experimento de tirar un dado y posteriormente una moneda, estamos realizando un experimento compuesto.
En los
experimentos compuestos es conveniente usar el llamado
diagrama en árbol para hacerse una idea global de todos ellos.
Teorema de Bayes
Si A 1, A 2 ,... , An son:
Sucesos incompatibles 2 a 2.
Y cuya
unión es el
espacio muestral (A
1 A
2 ...
A
n = E).
Y B es otro suceso.
Resulta que:
Las probabilidades p(A1) se denominan probabilidades a priori.
Las probabilidades p(Ai/B) se denominan probabilidades a posteriori.
Las probabilidades p(B/Ai) se denominan verosimilitudes.
Ejemplos
El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?
La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02.
En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente?
Sean los sucesos:
I = Producirse incidente.
A = Sonar la alarma.