martes, 25 de enero de 2011

Función de densidad de probabilidad


Definición

Una función de densidad de probabilidad (FDP) es una función matemática que caracteriza el comportamiento probable de una población. Es una función f(x) que especifica la posibilidad relativa de que una variable aleatoria continua X tome un valor cercano a x, y se define como la probabilidad de que X tome un valor entre x y x+dx, dividido por dx cuando dx es un número infinitesimalmente pequeño. La mayoría de las funciones de densidad de probabilidad requieren uno o más parámetros para especificarlas totalmente.
La probabilidad de que una variable aleatoria continua X esté ubicada entre los valores a y b está dada por el intervalo de la FDP, f(x), comprendido en el rango entre a y b. ≤ < = ∫ a b Pr(a x b) f (x)dx La FDP es la derivada (cuando existe) de la función de distribución: f x dF x dx ( ) = ( ) En situaciones prácticas, la FDP utilizada se elige entre un número relativamente pequeño de FDP comunes, y la labor estadística principal consiste en estimar sus parámetros. Por lo tanto, a los efectos de los inventarios, es necesario saber qué FDP se ha utilizado e indicarlo en la documentación de evaluación de la incertidumbre.
La definición formal de la función de densidad requiere de conceptos de la teoría de la medida. Si una variable aleatoria X sigue una función de probabilidad X*P su densidad con respecto a una medida de referencia μ es la derivada de Radon–Nikodym

ƒ = dX*P
       dµ
Es decir, ƒ es una función con la propiedad de que
P[X A] = ∫                        
para cada conjunto medible A.
Hay que advertir que la función de densidad no es propiamente única: dos funciones distintas pueden representar la misma distribución de probabilidad si son distintas únicamente en un conjunto de medida nula. Además, que puede haber distribuciones de probabilidad que carezcan de función de densidad: sucede cuando, sin ser discretas, concentran su probabilidad en conjuntos de medida nula; así sucede con la distribución de Cantor cuando se toma la de Lebesgue como medida de referencia.
Cuando, como ocurre normalmente en las aplicaciones, X es una variable aleatoria real y μ es la medida de Lebesgue, la función de densidad es una función tal que
 \operatorname P [a \leq X \leq b] = \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x .
De modo que si F es la función de distribución de X, entonces
F(x) = \int_{-\infty}^x f(u) \, \mathrm{d}u ,
y
 f(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} F(x) .
Intuitivamente, se puede pensar que ƒ(x) dx es la probabilidad de que X asuma valores en el intervalo infinitesimal [xx + dx].

Propiedades

De las propiedades de la función de distribución se siguen las siguientes propiedades de la fdp (a veces visto como pdf del inglés):
  • f(x)\ge 0\;para toda x.
  • El área total encerrada bajo la curva es igual a 1:
 \int_{-\infty}^\infty \,f(x)\,dx = 1
  • La probabilidad de que X tome un valor en el intervalo [a,b] es el área bajo la curva de la función de densidad en ese intervalo o lo que es lo mismo, la integral definida en dicho intervalo. La gráfica f(x) se conoce a veces como curva de densidad.
\Pr(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x)\,dx=F(b)-F(a)
Algunas FDP están declaradas en rangos de -\infty \;a +\infty \;, como la de la distribución normal.
Otra definición.-

Definición. La función de densidad de una variable aleatoria X permite trasladar la medida de probabilidad o "suerte" de realización de los sucesos de una experiencia aleatoria a la característica numérica que define la variable aleatoria. 
Designando por f a la función de densidad X, distinguiremos el caso discreto, donde los posibles valores de X forman un conjunto discreto (finito o numerable), del continuo, donde el recorrido de la variable aleatoria es un intervalo de la recta real :
·         Si X es discreta su función de densidad se define por
·         En el caso de que X sea continua su función de densidad debe permitir expresar  F, la función de distribución de probabilidad de X , en forma integral: 

Distribución Normal.-
En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece en fenómenos reales.
La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro. Esta curva se conoce como campana de Gauss.
La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes.
De hecho, la estadística es un modelo matemático que sólo permite describir un fenómeno, sin explicación alguna. Para la explicación causal es preciso el diseño experimental, de ahí que al uso de la estadística en psicología y sociología sea conocido como método correlacional.
La distribución normal también es importante por su relación con la estimación por mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación más simples y antiguos.
Algunos ejemplos de variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal son:
La distribución normal también aparece en muchas áreas de la propia estadística. Por ejemplo, la distribución muestral de las medias muestrales es aproximadamente normal, cuando la distribución de la población de la cual se extrae la muestra no es normal.[1] Además, la distribución normal maximiza la entropía entre todas las distribuciones con media y varianza conocidas, lo cual la convierte en la elección natural de la distribución subyacente a una lista de datos resumidos en términos de media muestral y varianza. La distribución normal es la más extendida en estadística y muchos tests estadísticos están basados en una supuesta "normalidad".
En probabilidad, la distribución normal aparece como el límite de varias distribuciones de probabilidad continuas y discretas.


Función de densidad.-






















Bibliografía:
http://e-stadistica.bio.ucm.es/glosario/def_fun_densidad.html
Bibliografía:
http://e-stadistica.bio.ucm.es/glosario/def_fun_densidad.html

Distribucion binomial




Un experimento sigue el modelo de la distribución binomial o de Bernoulli si:
1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su contrario suceso contrario.
2.La probabilidad del suceso A es constante, es decir, que no varía de una prueba a otra. Se representa por p.
3.El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

Variable aleatoria binomial

La variable aleatoria binomial, X, expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento.
La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n suponiendo que se han realizado n pruebas.

Ejemplo

k = 6, al lanzar una moneda 10 veces y obtener 6 caras.

Distribución binomial

La distribución binomial se suele representar por B(n, p).
n es el número de pruebas de que consta el experimento.
p es la probabilidad de éxito.
La probabilidad de suceso contrario es 1− p, y la representamos por q.

Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes características:
  • En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su contrario`A (fracaso).
  • El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.
  • La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por  p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad de `A   es  1- p  y la representamos por  q .
  • El experimento consta de un número  n  de pruebas.
Todo experimento que tenga estas características diremos que sigue el modelo de la distribución Binomial. A la variable  X  que expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento, la llamaremos variable aleatoria binomial.
La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n  suponiendo que se han realizado  n  pruebas. Como hay que considerar todas las maneras posibles de obtener  k-éxitos  y  (n-k) fracasos debemos calcular éstas por combinaciones (número combinatorio n sobre k).
La distribución Binomial se suele representar por  B(n,p)  siendo  n  y  p  los parámetros de dicha distribución.

Función de Probabilidad de la v.a. Binomial
Función de probabilidad de la distribución Binomial o también denominada función de la distribución de Bernoulli (para n=1). Verificándose:  0 £  p £ 1

Como el cálculo de estas probabilidades puede resultar algo tedioso se han construido tablas para algunos valores de  n  y  p  que nos facilitan el trabajo.
Ver Tabla de la Función de Probabilidad de la Binomial
Parámetros de la Distribución Binomial
Función de Distribución de la v.a. Binomial

siendo k el mayor número entero menor o igual a xi.
Esta función de distribución proporciona, para cada número real xi, la probabilidad de que la variable X tome valores menores o iguales que xi.
El cálculo de las F(x) = p( X £x) puede resultar laborioso, por ello se  han construido tablas para algunos valores de  n  y  p  que nos facilitan el trabajo.

Sea X una variable aleatoria discreta correspondiente a una distribución binomial.


Por favor a continuación un video explicativo de la Distribucion Binomial

Cómo se resuelven ejercicios....
Pulse debajo

Resolución de un ejercicio con Distribucion binomial









Ejemplo 1
Una máquina fabrica una determinada pieza y se sabe que produce un 7 por 1000 de piezas defectuosas. Hallar la probabilidad de que al examinar 50 piezas sólo haya una defectuosa.
Solución :
Se trata de una distribución binomial de parámetros B(50, 0'007) y debemos calcular la probabilidad  p(X=1).
Ejemplo 2
La probabilidad de éxito de una determinada vacuna es 0,72. Calcula la probabilidad de a que una vez administrada a 15 pacientes:
a) Ninguno sufra la enfermedad
b) Todos sufran la enfermedad
c) Dos de ellos contraigan la enfermedad
Solución :
Se trata de una distribución binomial de parámetros B(15, 0'72)
Ejemplo 3
La probabilidad de que el carburador de un coche salga de fábrica defectuoso es del 4 por 100. Hallar :
a) El número de carburadores defectuosos esperados en un lote de 1000
b) La varianza y la desviación típica.
Solución :
 Función de probabilidad de la distribución binomial
La función de probabilidad de la distribución binomial, también denominada función de la distribución de Bernoulli, es:
binomial
n es el número de pruebas.
k es el número de éxitos.
p es la probabilidad de éxito.
q es la probabilidad de fracaso.

Ejemplo

La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:
1. ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo hayan leido la novela 2 personas?
n = 4
p = 0.8
q = 0.2
B(4, 0.8)
binomial
2.¿Y cómo máximo 2?
binomial

Media

media

Varianza

varianza

Desviación típica

desviación típica

Ejemplo

La probabilidad de que un artículo producido por una fabrica sea defectuoso es 0.02. Se envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes. Hallar el número esperado de artículos defectuosos, la varianza y la desviación típica.
solución
solución
solución


 Ejercicio.-

Un laboratorio afirma que una droga causa efectos secundarios en una proporción de 3 de cada 100 pacientes. Para contrastar esta afirmación, otro laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los que aplica la droga. ¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos?
1. Ningún paciente tenga efectos secundarios.
B(100, 0.03) p = 0.03 q = 0.97
solucioón
2.Al menos dos tengan efectos secundarios.
solucioón
solucioón

3.¿Cuál es el número medio de pacientes que espera laboratorio que sufran efectos secundarios si elige 100 pacientes al azar?

solucioón


Ejercicio.-
En unas pruebas de alcoholemia se ha observado que el 5% de los conductores controlados dan positivo en la prueba y que el 10% de los conductores controlados no llevan puesto el cinturón de seguridad. También se ha observado que las dos infracciones son independientes.
Un guardia de tráfico para cinco conductores al azar. Si tenemos en cuenta que el número de conductores es suficientemente importante como para estimar que la proporción de infractores no varía al hacer la selección.
1. Determinar la probabilidad de que exactamente tres conductores hayan cometido alguna de las dos infracciones.
solución
solución
solución
2. Determine la probabilidad de que al menos uno de los conductores controlados haya cometido alguna de las dos infracciones.
solución
binomial

sábado, 22 de enero de 2011

Cronograma de Actividades -Tentativo-

 SEGUNDA NOTA: CLASES   29/1, 5/2, 12/2, 19/2, 26/2.                EXAMEN  26/2.

 TERCERA NOTA:  CLASES    12/3, 19/3,26/3                                 EXAMEN  26/3

  RECUPERACIONES      DIA 2/4

Trabajos unidad III, IV y V

Estos trabajos deben ser expuestos a partir del 29 de enero.

Grupo 1: Poblacion y muestra. Parametros y estadistica.Inferencia Estadistica.

Grupo 2: Muestreo probabilistico. Tipo de muetsreo. Distribucion muestal. Error tipico de 
                estimacion. Distribución muestral de proporciones..
Grupo 3: Estimador. Estimacion. Características. Insesgado. Consistente. Tamaño de muestra. Errores tipicos de estimación. Riesgo. Intervalos de confianza.

Grupo 4: Hipotesis cientifica e hipotesis estadistica.Concepto contraste de hipotesis.Hipotesis nula. Nivel de significación. Contraste de hipotésis para la media y la proporción.       

Grupo 5: Contraste de hipotésis para la media y la proporción. test bilateral y unilateral.Muestra grandes  y pequeñas. Grado de Libertad. T-student. Caracteristicas. Utilidad.

Grupo 6:  Relación entre variables. Problemas de la relación o dependencia. Diagrama de 
dispersión.
Grupo 7:Coeficiente de correlación lineal de Pearson. (producto-momento). Rango de valores de del coeficiente de Pearson.

Grupo 8:  Causalidad y correlación. Circunstancisa que afectan el valor de los coeficientes.
Grupo 9:  Coeficiente de correlación por rango de Spearman.

Grupo 10: Coeficiente biserial puntual. Nociones sobre correlación parcial y múltiple.