Un experimento sigue el modelo de la distribución binomial o de Bernoulli si:
1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su contrario 
.
. 2.La probabilidad del suceso A es constante, es decir, que no varía de una prueba a otra. Se representa por p.
3.El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.
Variable aleatoria binomial
La variable aleatoria binomial, X, expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento.
La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n suponiendo que se han realizado n pruebas.
Ejemplo
k = 6, al lanzar una moneda 10 veces y obtener 6 caras.
Distribución binomial
La distribución binomial se suele representar por B(n, p).
n es el número de pruebas de que consta el experimento.
p es la probabilidad de éxito.
La probabilidad de es 1− p, y la representamos por q.
es 1− p, y la representamos por q.Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes características:
Todo experimento que tenga estas características diremos que sigue el modelo de la distribución Binomial. A la variable X que expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento, la llamaremos variable aleatoria binomial.
- En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su contrario`A (fracaso).
- El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.
- La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad de `A es 1- p y la representamos por q .
- El experimento consta de un número n de pruebas.
La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n suponiendo que se han realizado n pruebas. Como hay que considerar todas las maneras posibles de obtener k-éxitos y (n-k) fracasos debemos calcular éstas por combinaciones (número combinatorio n sobre k).
La distribución Binomial se suele representar por B(n,p) siendo n y p los parámetros de dicha distribución.
Función de Probabilidad de la v.a. Binomial
Función de probabilidad de la distribución Binomial o también denominada función de la distribución de Bernoulli (para n=1). Verificándose: 0 £ p £ 1
Parámetros de la Distribución Binomial
Como el cálculo de estas probabilidades puede resultar algo tedioso se han construido tablas para algunos valores de n y p que nos facilitan el trabajo.
Ver Tabla de la Función de Probabilidad de la Binomial
Función de Distribución de la v.a. Binomial
siendo k el mayor número entero menor o igual a xi.
Esta función de distribución proporciona, para cada número real xi, la probabilidad de que la variable X tome valores menores o iguales que xi.
El cálculo de las F(x) = p( X £x) puede resultar laborioso, por ello se han construido tablas para algunos valores de n y p que nos facilitan el trabajo.
Sea X una variable aleatoria discreta correspondiente a una distribución binomial.
Ejemplo 1
Una máquina fabrica una determinada pieza y se sabe que produce un 7 por 1000 de piezas defectuosas. Hallar la probabilidad de que al examinar 50 piezas sólo haya una defectuosa.Solución :Se trata de una distribución binomial de parámetros B(50, 0'007) y debemos calcular la probabilidad p(X=1).
Ejemplo 2
La probabilidad de éxito de una determinada vacuna es 0,72. Calcula la probabilidad de a que una vez administrada a 15 pacientes:
a) Ninguno sufra la enfermedad
b) Todos sufran la enfermedad
c) Dos de ellos contraigan la enfermedadSolución :Se trata de una distribución binomial de parámetros B(15, 0'72)
Ejemplo 3
Función de probabilidad de la distribución binomialLa probabilidad de que el carburador de un coche salga de fábrica defectuoso es del 4 por 100. Hallar :
a) El número de carburadores defectuosos esperados en un lote de 1000
b) La varianza y la desviación típica.Solución :
La función de probabilidad de la distribución binomial, también denominada función de la distribución de Bernoulli, es:
n es el número de pruebas.
k es el número de éxitos.
p es la probabilidad de éxito.
q es la probabilidad de fracaso.
Ejemplo
La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:
1. ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo hayan leido la novela 2 personas?
n = 4
p = 0.8
q = 0.2
B(4, 0.8)
2.¿Y cómo máximo 2?
Media
Varianza
Desviación típica
Ejemplo
La probabilidad de que un artículo producido por una fabrica sea defectuoso es 0.02. Se envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes. Hallar el número esperado de artículos defectuosos, la varianza y la desviación típica.
Ejercicio.-
Un laboratorio afirma que una droga causa efectos secundarios en una proporción de 3 de cada 100 pacientes. Para contrastar esta afirmación, otro laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los que aplica la droga. ¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos?
1. Ningún paciente tenga efectos secundarios.
B(100, 0.03) p = 0.03 q = 0.97
2.Al menos dos tengan efectos secundarios.
3.¿Cuál es el número medio de pacientes que espera laboratorio que sufran efectos secundarios si elige 100 pacientes al azar?
Ejercicio.-
En unas pruebas de alcoholemia se ha observado que el 5% de los conductores controlados dan positivo en la prueba y que el 10% de los conductores controlados no llevan puesto el cinturón de seguridad. También se ha observado que las dos infracciones son independientes.
Un guardia de tráfico para cinco conductores al azar. Si tenemos en cuenta que el número de conductores es suficientemente importante como para estimar que la proporción de infractores no varía al hacer la selección.
1. Determinar la probabilidad de que exactamente tres conductores hayan cometido alguna de las dos infracciones.
2. Determine la probabilidad de que al menos uno de los conductores controlados haya cometido alguna de las dos infracciones.
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